To impf or not to impf? Das ist hier die Frage!

Verschieb das Boostern, dann krieg’ste ne Bratwurscht!

©hans_pixabay

von Karl-Heinz Moritz und Georg Stadtmann
30. November 2021

Ein spieltheoretisches Setting wird eingesetzt, um den Konflikt zwischen den Impfbefürwortern und den Impfgegnern zu beleuchten. Ein zentrales Ergebnis besteht darin, dass die Impfbefürworter grundsätzlich die Impfgegner mittels Subventionierung zu einer Impfung bewegen könnten. Eine solche Subventionierung könnten den Nutzen von beiden Gruppen erhöhen. Eine tiefergehende Analyse liefert zahlreiche weitere Einsichten in Bezug auf die Stabilität dieser Ergebnisse.


1. Einleitung

Die Beziehung zwischen der Gruppe der Geimpften und der Gruppe der Ungeimpften ist momentan sehr konfliktgeladen. Die Gruppe der Geimpften wirft der Gruppe der Ungeimpften vor, dass ihr Verhalten zu einem Anheizen der Pandemie beiträgt. Die Gruppe der Ungeimpften führt hingegen oftmals das Recht auf körperliche Unversehrtheit ins Feld. In diesem Beitrag werden die verschiedenen Argumentationslinien aus spieltheoretischer Sicht analysiert. Am  Ende werden auch wir keine Lösung des Konfliktes herbeiführen können. Wir glauben dennoch, Handlungsoptionen aufzeigen zu können und beschreiben deren langfristige Folgen relativ klar.

Die Situation zwischen den Impfbefürworter und den Impfgegnern ähnelt etwas dem traditionellen Beispiel des Konflikts zwischen dem Nichtraucher und dem Raucher in einem Zugabteil. Der Raucher möchte gerne rauchen, erzeugt aber eine negative Externalität für den Nichtraucher. Der Nichtraucher beansprucht die Luft als sein persönliches Gut, was nicht verpestet werden sollte. Dieser Konflikt kann gema¨ß Coase durch eine Verhandlung gelöst werden:

  • Eine Lösung könnte so aussehen, dass der Nichtraucher dem Raucher Geld bezahlt, damit dieser das Rauchen unterlässt.
  • Die andere Lösung besteht darin, dass der Raucher den Nichtraucher dafür kompensiert, dass er die Luft verpesten darf.

Ob die eine oder andere Lösung zu Stande kommt, hängt insbesondere davon ab,  wem die Eigentumsrechte an der Luft gehören. Während früher in Zügen  geraucht werden durfte, hat sich heute durchgesetzt, dass das Eigentumsrecht dem Nichtraucher gehört (wobei in der realen Welt natürlich ein Verkauf dieses Rechtes ausgeschlossen ist). Des Weiteren ist anzumerken, dass eine   Verhandlungslösung insbesondere dann erfolgreich eingesetzt werden kann, wenn die Anzahl an verhandelnden Personen relativ gering ist.

In Bezug auf das Impfthema scheint es ebenfalls zunächst so geregelt gewesen zu sein, dass Ungeimpfte im öffentlichen Raum Viren schleudern durften. Durch die gegenwärtigen Beschränkungen (2G in Restaurants) wird das Eigentumsrecht jedoch tendenziell den Geimpften zugesprochen.


2. Spieltheoretische Analyse

2.1 Annahmen des Spiels

Im Folgenden soll die Situation zwischen den beiden Parteien anhand einer Auszahlungsmatrix dargestellt werden. Dazu werden folgende Annahmen gesetzt, die in Tab. 1 beschrieben sind (1). Die Auszahlungsmatrix ist in Tab. 2 dargestellt.


In dieser Tabelle werden zwei Aspekte durch Annahmen explizit ausgeschlossen, obwohl sie aus der Sicht mancher Impfgegner relevant sind und ihr Verhalten bestimmen. Erstens: Einige Impfgegner argumentieren, dass eine Impfung langfristigen Impfschäden erzeugen könnte. Ist dies der Fall, so würden Impfbefürworter in der Zukunft hohe Kosten für das Gesundheitssystem verursachen. Diese negative Externalität müsste auch von den Impfgegnern getragen werden. Zweitens: Einige Impfgegner wollen nicht mit Geimpften in einem Raum sein, weil sie sich fürchten, dass da irgendetwas überspringen könnte.


Die Zusammenführung der Kosten und Nutzen einer Impfung fu ̈r jeweils Impfbefürworter und Impfgegner führt zu einer Auszahlungsmatrix mit den folgenden Feldern:

  • Falls sich die Gruppe der Impfbefürworter nicht impfen lässt und auch die  Impfgegner ungeimpft bleiben, erzielen die Impfbefürworter eine Auszahlung von 4 und die Impfgegner eine Auszahlung von 0 (rechtes unteres Feld).
  • Falls sich – ausgehend von dem rechten unteren Feld – nur die Impf- befürworter impfen lassen, so verändert sich deren Nutzen wie folgt:

Ausgangsituation (4) + direkter Effekt einer Impfung (+9) Kosten einer Impfung (1) + kein positiver externer Effekt, weil die Impfgegner sich nicht impfen lassen ⇒ erreichtes Nutzenniveau = 4.

Die Impfgegner bleiben jedoch ungeimpft. Wir nehmen an, dass den Impfgegnern egal ist, ob sich die Impfbefürworter haben impfen lassen oder nicht. Ihr Nutzen bleibt weiterhin bei 0 (rechtes oberes Feld).

  • Falls sich – ausgehend von dem rechten unteren Feld – die Impfgegner impfen lassen, so sinkt deren Nutzen auf 3. Die Impfbefürworter bleiben ungeimpft,  verspüren jedoch eine positive Externalität in der Grö¨ßenordnung von 7 und erzielen somit eine Auszahlung von +3 (linkes unteres Feld).
  • Falls sich sowohl die Impfbefürworter und die Impfgegner impfen lassen, so erzielen die Impfbefürworter folgendes Nutzenniveau:

Ausgangsituation (4) + direkter Effekt einer Impfung (+9) + Kosten einer Impfung (1) + positiver externer Effekt, weil die Impfgegner sich auch impfen lassen (+7) ⇒ erreichtes Nutzenniveau = 11. Die Auszahlungen betragen somit 11 für die  Impfbefürworter und 3 für die Impfgegner (linkes oberes Feld).

2.2 Lösung des Spiels

Um das Spiel zu lösen, soll das Konzept der dominanten Strategie angewendet werden:

  • Spielen die Impfgegner „nicht impfen“, so müssen die Impfbefürworter die Auszahlungen von 4 (nicht impfen) und +4 (impfen) vergleichen. Somit ist die beste Antwort der Impfbefürworter „impfen“.
  • Spielen die Impfgegner „impfen“, so ist die beste Antwort der Impfbefürworter „impfen“.

Somit stellt die Option „impfen“ eine dominante Strategie für die Impfbefürworter dar.

  • Spielen die Impfgegner „nicht impfen“, so ist die beste Antwort der Impfbefürworter „nicht impfen“.
  • Spielen die Impfbefürworter „impfen“, so ist die beste Antwort der Impfgegner „nicht impfen“.

Deshalb stellt die Option „nicht  impfen“ eine dominante Strategie für die Impfgegner dar.

Somit besteht das Gleichgewicht des Spiels in einer Situation, in der sich die Impfbefürworter impfen lassen und die Impfgegner sich nicht impfen lassen. Dieses Gleichgewicht kann auch als Nash-Gleichgewicht charakterisiert werden: Keiner der beiden Spieler kann sich durch einseitiges Abweichen seiner Strategie besser stellen.

Da es sich hier um ein Gleichgewicht in dominanten Strategien handelt, ändert sich das Ergebnis auch nicht, falls die Entscheidungssituation als un- endlich wiederholtes Spiel oder als sequenzielles Spiel modelliert würde.

2.3 Interpretationen

Dieses Ergebnis vermag auf den ersten Blick nicht überraschen. Jedoch liefert die genaue Analyse und Interpretation des Gleichgewichts wichtige Erkenntnisse:

  1. Das Gleichgewicht ist Pareto optimal. Keine Gruppe kann sich (zunächst  einmal) verbessern, ohne dass ich die andere Gruppe verschlechtert.
  2. Somit ist das Gleichgewicht auch nicht durch das Auftreten eines Gefangenen-Dilemmas gekennzeichnet (2).
  3. In dem Gleichgewicht ist die Summe aller Auszahlungen – also die Auszahlung für die Gesellschaft – nicht maximal. Nach dem Kaldor-Hicks-Kriterium wäre  demnach impfen/impfen mit einer Gesamtauszahlung von 8 (11 3) der Situation impfen/nicht impfen (Gesamtauszahlung 4 + 0) vorzuziehen.

Versetzen wir uns in die Situation der Impfbefürworter. Es gibt zwei Möglichkeiten, die Impfgegner zum Impfen zu überzeugen:

  • Die Impfbefürworter könnten die Impfgegner subventionieren.
  • Die Gruppe der Impfgegner könnten durch eine politische Instanz sanktioniert werden.

Betrachten wir zunächst die Subventionierung: Dieses letzte Ergebnis impliziert:  Die  Gruppe der Impfbefürworter könnte die Gruppe der Impfgegner durch die  Zahlung in Höhe von z. B. etwas mehr als 3 Geldeinheiten dazu überzeugen, sich impfen zu lassen. Durch diese Zahlung würden sich sowohl die Impfbefürworter als auch die Impfgegner besser stellen als in der oben skizzierten Gleichgewichtslösung. Somit ist eine – im Vergleich zum bestehenden Gleichgewicht – verbesserte Situation durch eine Verhandlungslösung und eine Zahlung möglich. Diese Lösung weist aber einige Nebenwirkungen auf:

  1. Stellen die Menschen fest, dass eine Verweigerungshaltung später kompensiert wird, könnte eine Verweigerungshaltung sogar noch heran-gezüchtet werden. Potentielle Impfbefürworter würden sich erst boostern lassen, wenn die Impfung mit einer Subvention belohnt wird (Moral-Hazard-Problem).
  2. Impfbefürworter könnten die Zahlung einer Kompensation aus ethisch- emotionalen Gründen als nicht akzeptabel empfinden. Die Zahlung an sich würde gegen ihr Gerechtigkeitsempfinden verstoßen und somit ihren Nutzen reduzieren. Die Frage ist, ob unter Berücksichtigung dieses Aspekts noch ausreichend Verteilungsspielraum verbleibt.
  3. Die Gruppen sind natürlich nicht homogen. Während für einige Impfgegner ein Anreiz in Form einer Bratwurst ausreicht, müssten für andere Impfgegner schon sehr viel höhere Zahlungen in Aussicht gestellt werden. Die internen Kosten der Impfgegner könnten dabei prohibitiv hoch werden. Diesbezüglich ist jedoch auch zu berücksichtigen, dass sich nicht unbedingt auch wirklich der letzte Impfgegner überzeugt werden muss. Für den Extremfall bedeutet dies: Der „letzte Impfgegner“ muss gar nicht mehr überzeugt werden und hat kein „Erpressungspotential“.

Alternativ könnten Sanktionen die Impfgegner zur Impfung überzeugen: So hat
z. B. der IW Chef Hüther (2021) vorgeschlagen, die Impfgegner für einen Aufenthalt auf der Intensivstation selbst zahlen zu lassen. Auch Justus Haucap hat diesen Vorschlag aufgegriffen und eine Selbstbeteiligung der Ungeimpften an den Krankenhauskosten von 20 % ins Spiel gebracht (vgl. Gersemann 2021).

Grundsätzlich wäre natürlich eine staatliche Impfpflicht mit einem Ordnungsgeld von z. B. 20 EUR pro Tag denkbar. Der ehemalige Kulturstaatsminister Nida-Rümelin (2021) argumentiert: „Ähnlich wie beim Schwarzfahren, kann sich eine hartnäckige Weigerung von einer Ordnungswidrigkeit zu einer Straftat auswachsen.“ Auch diese Maßnahme würde die Kosten für die Ungeimpften erhöhen.

Problematisch scheint jedoch, dass dieser Eingriffe von der Gruppe der
Impfgegner als unfreiwillig und nicht liberal und unter Umsänden auch als un- demokratisch oder diktatorisch angesehen werden würden. Eine Hinwendung zu extremistischen Parteien und ein anderes Verhalten wäre zu erwarten. Da hat die Verhandlungslösung einen größeren Charme.


3. Fazit

Eine spieltheoretische Analyse hat ergeben, dass die Kombination die Impfbefürworter lassen sich impfen und die Impfgegner lassen sich nicht impfen ein Nash-Gleichgewicht aber kein Gefangenendilemma darstellt. Das Gleichgewicht im Basisspiel ist pareto-optimal. Eine Verhandlungslösung ist grundsätzlich denkbar. Auf Grund der Gruppengröße und der Heterogenität in der Gruppe der Impfgegner ist eine solche Lösung jedoch unwahrscheinlich.



(1) Die Zahlenwerte stellen ein fiktives Beispiel dar und werden nicht aus irgendwelchen Nutzenkalkülen gesondert abgeleitet. Natürlich treiben diese Annahmen das Spielergebnis. Grundsätzlich könnte man eine Sensitivitätsanalyse durchführen, um die Stabilität der abgeleiteten Ergebnisse zu überprüfen: Je größer man den direkten Nutzen der Impfbefürworter bzw. je größer der positive externe Effekt für die Impfbefürworter modelliert, desto größer wird z. B. die Verhandlungsmasse.

(2) Ein Gefangenendilemma stellt eine sehr bekannte spieltheoretische Konstellation dar, in der beide Spieler in einem Gleichgewicht gefangen sind, welches aber nicht optimal ist. Könnten die beiden Spieler miteinander kommunizieren und einen glaubhaften Vertrag schließen, das beide Spieler ihre Strategiewahl ändern, so würde die Auszahlungen für beide Spieler steigen. Das Spielergebnis eines Gefangenendilemmas ist also gerade nicht Pareto optimal.


Literatur

Gersemann, Olaf (2021): Vorbild Singapur? Ökonomen bringen für Deutschland drastische Maßnahmen ins Spiel. Die Welt online 13.11.2021.
https://www.focus.de/gesundheit/coronavirus/kostenbete iligung-an-krankenhaus-rechnung-vorbild-singapur-ungeimp fte-muessen-klinik-aufenthalt-wegen-corona-teils-selbst- zahlen id 24425613.html

Hüther, Michael (2021): Finanzielle Sanktionen für Impfunwillige – jetzt ist die Zeit dafür gekommen. Die Welt online 12.11.2021. 
https://www. welt.de/wirtschaft/plus235019196/Finanzielle-Sanktionen-fu er-Impfunwillige-jetzt-ist-die-Zeit-dafuer-gekommen.html

Nida-Rümelin, Julian (2021): Ein Vorschlag zur Güte. Die Welt online 21.11.2021.
https://www.welt.de/debatte/kommentare/plus235177702/Impfpflicht-Ein-Vorschlag-zur-Guete.html



Karl-Heinz Moritz ist Professor an der Fachhochschule Erfurt.

Georg Stadtmann ist Professor für Volkswirtschaftslehre an der Europa-Universität Viadrina in Frankfurt (Oder).


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